データ分析における等分散性と不均一分散性の理解
の概念を理解する 等分散性 と 異分散性 に不可欠です データ分析 および統計。これらの用語は、統計モデルにおける残差誤差または「ノイズ」の分散を表します。この記事では、これらの概念を定義し、その確認方法を説明し、不均一分散の潜在的な影響を探ります。
等分散性と不均一分散性
同相性 誤差項または残差の分散が独立変数の値の全範囲にわたって一貫している状態を指します。 この特性は、予測子変数の値の変更に関係なく、残差が均一に広がることを意味します。 データセット全体にわたるこのような一貫した分散は、統計テスト全体にわたる基本的な仮定です。
反対に、 異分散性 誤差項の分散が独立変数のすべての水準にわたって一貫性を維持できない場合に発生します。 簡単に言うと、予測変数の値の変動に合わせて残差スプレッドが増幅または縮小します。 この現象により、信頼性が低く誤解を招く検定統計量、標準誤差、仮説検定が生じる可能性があります。
ハイライト
- 等分散性とは、独立変数値全体にわたる残差の均一な広がりを指します。
- 等分散性と不均一分散性の仮定は、線形回帰、t 検定、および ANOVA に適用されます。
- Levene の検定は、t 検定と ANOVA で分散の均一性をチェックします。
- Breusch-Pagan 検定、White 検定、または Goldfeld-Quandt 検定は、等分散性の回帰に使用されます。
- 対数や平方根などの変換により、不均一分散性の分散を安定させることができます。
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等分散性を仮定した推論統計検定
等分散性は、多くの推論統計検定において必須の仮定です。 これらのテストの精度が保証され、偏りのない信頼性の高い結果が得られます。 以下は、等分散性を仮定する一般的なテストの一部です。
独立したサンプルの t 検定: 独立したサンプル t検定 サンプルが抽出される 2 つの母集団の分散が等しいと仮定します。この仮定は、分散の均一性または等分散性として知られています。この仮定に違反すると、平均の差について誤った結論につながる可能性があります。
一元配置分散分析 (ANOVA): ANOVA は、XNUMX つ以上のグループの平均値の有意差を検定します。 これは、比較対象のグループ間の分散が等しいと仮定しており、これも等分散性の仮定です。 この仮定に違反すると、ANOVA は有効ではなくなり、別の統計手順が必要になる可能性があります。
直線回帰: 回帰分析では、残差 (誤差) の等分散性が仮定されます。 これは、残差の変動性が独立変数のすべてのレベルで同じであることを意味します。 ただし、不均一分散性が存在する場合、標準誤差が不正確になる可能性があり、信頼性の低い仮説検定と信頼区間が得られます。
これらのテストにおける等分散性の仮定を理解することは非常に重要です。この仮定に違反すると誤解を招く結果が生じ、これらのテストから引き出される統計的結論の精度が損なわれる可能性があるからです。
等分散性のチェック
線形回帰、t 検定、ANOVA などの推論統計手順の基礎となる等分散性または不均一分散性を検出するプロセスには、通常、残差プロットの検査が含まれます。 たとえば、縦軸に残差、横軸に予測値または近似値を使用して構築された散布図では、多くの場合、データが等分散性の仮定に従っているかどうかを直感的に把握できます。
レベンの検定は一般に、分散の均一性を検証するために t 検定および ANOVA のコンテキストで適用されます。 一方、Breusch-Pagan 検定、White 検定、または Goldfeld-Quandt 検定は主に回帰分析で使用されます。 これらの検定により p 値が得られ、この値が事前に決定された有意水準 (通常は 0.05 に設定) を下回る場合、等分散性の帰無仮説は棄却されます。 この拒否は、データ内に不均一分散性が存在することを示します。
等分散性に対処する
データに等分散性が観察された場合、通常は良いニュースとなります。 これは、モデルが重要な仮定の XNUMX つに従っていること、および推定の標準誤差が一貫していて信頼できることを意味します。 ただし、この前提に違反する場合は、この問題を修正するためにいくつかの戦略が利用できます。
広く採用されている戦術の XNUMX つは、従属変数の変換です。 たとえば、対数や平方根などの変換を実装すると、予測子変数のスペクトル全体の分散を安定させるのに役立ちます。
回帰モデルの場合は、通常の最小二乗 (OLS) 回帰の代わりに加重最小二乗 (WLS) を利用することもできます。 この方法では、誤差が大きい観測値の重みが低くなり、誤差がモデルの結果に不釣り合いな影響を与えないようになります。
t 検定と ANOVA のコンテキストでは、等分散性に違反する場合、これらの検定の修正である Wald 検定も使用できます。 Wald テストは、不均一分散性に対してより耐性のある堅牢な標準誤差を採用しており、不均一分散性が存在する場合でも信頼性の高い結果を提供します。
したがって、多くの統計検定では等分散性が望ましい一方で、この仮定に違反することは乗り越えられないハードルではありません。 変換や代替手法などの適切な戦略を使用しても、分析から信頼性の高い有効な推論を引き出すことができます。
不均一分散性の意味
不均一分散性は統計手順に大きな影響を与える可能性があります。 係数や平均推定値に偏りは生じませんが、精度が損なわれます。 精度が低下すると、推定値が真の母集団パラメータから遠ざかる確率が高まります。
さらに、不均一分散性により、係数または平均の非効率な推定が引き起こされる可能性があり、これらのパラメータの推定分散が最適値よりも高いことを意味します。 このような非効率性により、信頼区間が広くなり、p 値が上昇する可能性があり、重大な効果の検出が困難になる可能性があります。
t 検定と ANOVA の場合、不均一分散性により、グループ平均を比較するときにタイプ I 過誤 (偽陽性) のリスクが高まる可能性もあります。 テストの検出力が影響を受け、実際の効果を検出する能力が低下する可能性があります。
結論として、等分散性と不均一分散性の理解と検証は、データ分析と統計的検定において不可欠です。 これらの手順により、統計的推論と予測の信頼性と妥当性が保証されます。 したがって、不均一分散性を診断し、必要に応じて修正する方法を理解し、分析で可能な限り正確な推定値が得られるようにすることが最も重要です。
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よくある質問（FAQ）
等分散性は、独立変数間の誤差または残差の等しい分散を指します。
不均一分散性とは、誤差の分散が独立変数の異なるレベル間で変化する状態です。
これらの概念により、統計手順における検定統計量、標準誤差、および仮説検定の信頼性が保証されます。
残差プロットの目視検査や、Levene's、Breusch-Pagan、White、Goldfeld-Quandt などの統計検定により、等分散性を検出できます。
回帰で加重最小二乗法を使用するか、t 検定と ANOVA で Wald 検定を使用する従属変数変換により、不均一分散に対処できます。
精度が低下し、非効率的なパラメーター推定、より広い信頼区間、および p 値の上昇につながります。
これにより、係数推定の信頼性が低くなり、回帰モデルの検出力が低下する可能性があります。
はい、タイプ I エラーのリスクが高まり、テストの検出力に影響を与える可能性があります。
はい、変換、加重最小二乗回帰、または堅牢な標準誤差を使用する Wald テストを通じて可能です。
Wald 検定は、t 検定と ANOVA を改良したもので、不均一分散に耐える堅牢な標準誤差を使用します。
